4 – Cálculo de la resistencia

1.- Cálculo de la resistencia del voladizo de la antena.

La antena se sitúa a 1,20 m por encima del plano superior del anclaje de las riostras en el mástil, este es el voladizo de la antena, por lo tanto esta sección del mástil deberá soportar el momento flector que genera el viento sobre la antena.

El momento flector será:

M = F * (h/2) = 49,83 kg * (1,20/2) = 29,30 kgf

  • F = Reacción de la superficie de la antena ante el viento.
  • h = Altura del voladizo (Fig.1)

Ahora calcularemos si la sección del mástil que soporta la antena cumple. Lo primero que debemos calcular es área de la sección del tubo y el módulo resistente. He explicado que para el voladizo utilizaré una sección de tubo de 40 mm de diámetro exterior (D) y 41 mm de diámetro interior (d).

  • Área sección (A) = (π/4) * (D²-d²) = (π/4) * (4²-3,6²) = 2,39 cm²
  • Módulo resistente (W) = (π/32) * ((D^4-d^4)/D) = (π/32) * ((4^4-3,6^4)/4) = 2,16 cm³

La resistencia de la sección de un tubo se calcula por la fórmula:

  • σ ≥ (N/A) + (M/A) = (9/2,39) + ((29,30*100)/2,16) = 1360 kgf
  • N = Peso de la antena
  • A = Área sección del tubo
  • M = Momento flector
  • W = Módulo resistente
  • σ = Límite elástico del aluminio

Como σ = 1713 kgf/cm² y σ ≥ 1360 el elemento CUMPLE

2.- Cálculo de la resistencia de las riostras y el mástil.

Para calcular la tensión a la que son sometidas las riostras por efectos del viento utilizaremos la reacción por presión ante el viento de todo el sistema que es de 77,63 kg (Tabla 1). Según indica Delfín Val EA4BOD en su trabajo “Cálculo de instalación de sistemas radiantes”, (URE agosto-septiembre de 2000), las riostras se calculan por las reacciones y no por los momentos flectores.

Para simplificar los cálculos, utilizaremos el sistema gráfico que evita cálculos complejos de trigonometría. Este sistema vectorial proporciona una precisión aceptable y es, además, muy didáctico para comprender cómo actúa el viento sobre la instalación vertical de un sistema de antenas.

Figura 2 - Cálculo gráfico de esfuerzos

Figura 2 – Cálculo gráfico de esfuerzos

Simplificando los conceptos, la fuerza horizontal del viento produce una reacción  que en un sistema de riostras se transforma en dos vectores. Uno de tensión en las riostras en dirección al plano superior y otro de compresión sobre el mástil desde el punto donde se inserta el plano superior de las riostras hacia la base. Para cuantificar gráficamente los esfuerzos de ambos elementos, riostras y mástil, se traza a escala el triángulo ABC en el que la hipotenusa se representa con el lado AB, el cateto BC representa el mástil y el cateto AC la distancia del anclaje de riostra desde el anclaje del mástil.

Desde el vértice B, trazamos a escala la perpendicular BD en la que se representa la reacción ante el viento de toda la instalación (77,63 kg). En el ejemplo la escala es de 1 mm = 1 kg, por lo tanto BD = 78 mm. A continuación trazamos otra línea DE paralela a la hipotenusa AC, desde el punto D hasta el punto de cruce E con la vertical BC que representa al mástil o su prolongación.

La longitud de la línea DE nos indicará, en la misma escala, la tensión que debe soportar cada riostra y la línea CE la presión que debe soportar el mástil por la fuerza del viento.

En el ejemplo, la línea DE tiene 110 mm, lo que significa que las riostras deben soportar 110 kgf de tensión como consecuencia de la reacción de la instalación ante el viento.  La vertical CE mide 77 mm, por lo tanto, la reacción ante el viento transmite al mástil 77 kgf. Conociendo los esfuerzos que deben soportar los dos elementos podemos calcular si son aptos.

A la tensión que soportan las riostras se deben añadir 80 kilos de tensado, lo que nos da una cifra total de 190 kg. A la presión que soporta el mástil debemos añadir el peso muerto de la instalación (22,22 kg) lo que nos da un peso total de 99,2 kg.

Riostras.-

Si colocamos cuerda Mastrant M8 de Dyneema, la carga de trabajo segura será de 795 kgf lo que nos da un factor de seguridad de 4,18, por lo tanto elemento, en este caso, CUMPLE

Si colocamos cable de acero inoxidable 4 mm, como regla general, la carga de rotura es de 885 kg. En las recomendaciones para instalaciones dinámicas se indica que se debe superar 3-4 veces la carga de rotura. Hay diferencias en la resistencia a la rotura de un cable a otro dependiendo de la configuración del trenzado del número de cordones, etc que le confieren mayor o menor elasticidad y resistencia al roce, en cualquier caso el instalador de antenas debe tener los suficientes conocimientos y experiencia para seleccionar el mejor compromiso de tamaño y seguridad. Cualquiera de los cables que soporten una carga de rotura de 800 kg tendrá un factor de seguridad de 4,21, por lo que, en este caso, el elemento CUMPLE.

Es importante supervisar la instalación de las riostras y cerciorarse de que se utilizan guardacabos, que los cierres sean de seguridad que se instalen tensores etc. En Internet se pueden encontrar muchos ejemplos de buenas prácticas en la instalación de riostras.

Anclajes.-

Los anclajes de las riostras sobre superficies horizontales o en paramentos verticales deben resistir el esfuerzo de arranque. Este esfuerzo depende del ángulo que forma la riostra con la superficie en la que está anclada. Para conocer la distribución del esfuerzo lo debemos descomponer en dos vectores perpendicular y paralelo a las superficies.

Método gráfico vectorial

Figura 3 – Método gráfico vectorial

Continuando con el método gráfico, trazaremos de nuevo un ángulo ABC. La longitud de la recta AB representará a escala la tensión total que soporta la riostra en kg. En el ejemplo, 1 mm representa 2 kg, de este modo:

  • AB = 95 mm = 190 kg de esfuerzo oblicuo
  • BC = 62 mm = 124 kg de esfuerzo vertical
  • AC = 62 mm = 124 kg de esfuerzo de cizallamiento

La resistencia al cizallamiento de un tornillo expansivo M8, según el catálogo de Spit Tiga Z, es de 76,1 N/mm², lo que supone 390 kgf por lo que el elemento cumple con un coeficiente de seguridad de 3,14.

Sin embargo, la seguridad del anclaje de las riostras depende principalmente del lugar en el que haya sido fijado el tornillo. El anclaje debe ser realizado en puntos sólidos del edificio tales como paredes con espesores de 15 cm o mayores o elementos estructurales como pilares vigas, forjados, etc.

Una mala fijación puede originar la rotura en cono del material que recibe el tornillo por tracción o la rotura en cizallamiento por palanca.

Mástil.-

El cálculo de la resistencia de las riostras se realiza mediante las reacciones que soportan, mientras que la resistencia de los elementos rígidos se calcula por los momentos flectores. Ya hemos calculado la resistencia del mástil al final del voladizo C, ahora debemos calcular la resistencia del mástil en la sujeción del mástil.

En primer lugar debemos conocer la suma de los momentos flectores de la instalación en función de su reacción ante el viento y la altura:

  • Antena: 48,83 kg * (6/2) = 73,25 kgf
  • Mástil: 18,72 * (5/2) = 44,93 kgf
  • Cojinete: 6,82 * (4,80/2) = 16,37 kgf
  • Rotor: 3,26 * 4,4/2 = 7,17 kgf
  • Total:  141,72 kgf

El total del momento flector supera la capacidad de resistencia del mástil, sin embargo, la adición de las riostras origina un momento positivo por la reacción de 110 kg (fig.2), por lo que:

  • M = 141,72 – 110,00 kg = 31,72 kg/m

Como hemos visto al comprobar la resistencia del mástil que soporta el voladizo dela antena,los elementos rígidos se comprueban por la fórmula

σ = (M/W), M = 1713 * 2,16 =37 kg/m

Ahora podemos determinar cuál será el momento flector máximo tolerable para un tubo con diámetro exterior (D) de 50 mm, diámetro interior (d) de 4,6 mm de aluminio 6063 T6 con tensión admisible de 1713 kg/cm²

Como σ = 37 kg/m y M = 31,42 kg/m, M ≤ σ, por lo que el mástil con las riostras del diámetro y características adecuadas a 4,80 m de altura cumplirá los requisitos exigidos.

Ir a:

Antena Hexbeam

El proyecto técnico

1 – Descripción

2- Trabajando en el proyecto

3 – Resistencia, conceptos básicos

5 – Conclusiones

6 – El rotor

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